Formule echivalente în calculul propoziţional
Aşa cum în clasele mici cu literele a, b, c, ... şi simbolurile +,• ,-, : , putem forma expresiile algebrice, aşa şi în calcul propoziţional cu literele p, q, r, ... (sau p1 , p2 ,p3 ,...) şi cu simbolurile conectorilor logici: ⋁,⋀ ,→,↔ , putem să formăm diverse expresii numite formule ale calculului proporţional.
Formulele calculului proporţional le notăm cu literele α, β, γ, δ, ... .
Exemple: p⋁ q, (p⋁ q) ⋀ r, (p⋀q) → (p⋀q) , (p⋁ r) → p, ﾡ p →q sunt formule ale calculului propoziţional.
Dată o formulă α = α ( p, q, r, ...) în scrierea căreia intră literele p, q, r, ... ori de câte ori înlocuim literele p, q, r, ..., cu diverse propoziţii obţinem o nouă propoziţie
( adevărată sau falsă ) care se va numi valoarea formulei α pentru propoziţiile p, q, r, ...date.
Observaţie. Cititorul poate să facă imediat legătura cu valoarea unei expresii algebrice pentru diverse valori numerice date literelor ce o compun.
O formulă α ( p, q, r, ...) care are valoarea o propoziţie adevărată indiferent cum sunt propoziţiile p, q, r, ... se numeşte formulă identic adevărată sau tautologie.
Două formule,α şi β, în scrierea cărora intră literele p,q, r, ... se zic echivalente dacă şi numai dacă pentru orice înlocuire a literelor p, q, r,... cu diverse propoziţii, valorile celor două formule sunt propoziţii (compuse) care au aceeaşi valoare de adevăr.
Când două formule α şi β, sunt echivalente scriem α ≡ β .




 ELEMENTE DE CALCULUL PREDICATELOR

Noţiunea de predicat are o importanţă deosebită în matematică.. Fără a exagera, aproape orice teoremă din matematică este un enunţ ce conţineunul sau mai multe predicate.
Un enunţ care depinde de una sau mai multe variabile şi are proprietatea că pentru orice ‚valori’ date variabilei corespunde o propoziţie adevărată sau falsă se numeşte predicat sau propoziţie cu variabile. Predicatele sunt unare, binare, ternare etc., după cum depind respect de 1, 2, 3... variabile. Ori de câte ori definim un predicat trebuie să indicăm şi mulţimile în care variabilele iau valori.
Cuantificatorul existenţial (Ǝ) şi cuantificatorul universal (∀)
Strâns legată de noţiunea de predicat apare noţiunea de cuantificator. Fie predicatul unar p(x) unde x desemnează un element oarecare din mulţimea E. Putem forma enunţul: există cel puţin un x din E astfel încât p(x), care notează (Ǝ x)p(x). Acest enunţ este o propoziţie care este adevărată când există cel puţin un element x0 din E astfel încât propoziţia p(x0) este adevăratăşi este falsă când nu există nici un x0 din E astfel încât p(x0) să fie adevărată. Cu predicatul p(x) putem forma şi enunţul :oricare ar fi x din E are loc p(x) care se notează (∀x) p(x). Acest enunţ este o propoziţie care este adevărată dacă pentru orice element x0 din E p(x0) este adevărată, fiind falsă în cazul în care există cel puţin un x0 din E pentru care E p(x0) este falsă.
Echivalenţa predicatelor. Două predicate p( x, y, z...), q(x, y, z...) se zic echivalente şi scriem p( x, y, z...)⇔ q(x, y, z...) dacă oricum am alege valorile variabilelor x0 , y0, z0 pentru care propoziţia p(x0 , y0, z0 ...) şi q(x0 , y0, z0 ...) au aceeaşi valoare de adevăr. Dacă oricum am alege valorile variabilelor x0 , y0, z0 pentru care propoziţia p(x0 , y0, z0 ...) este adevăratezultă cşi propoziţia q(x0 , y0, z0 ...) este adevărată, vom scrie p( x, y, z...)⇒ q(x, y, z...) Se vede că p( x, y, z...)⇔ q(x, y, z...) atunci şi numai atunci când p( x, y, z...)⇒ q(x, y, z...) şi q( x, y, z...)⇒ p(x, y, z...)
Reguli de negaţie. Fie p(x) un predicat unar, unde x desemnează un element din mulţimea E. Atunci :
1) ﾡ((Ǝ) p(x)) ≡(∀x) ﾡ p(x)
2) ((∀x) p(x) ≡( Ǝx) ﾡ p(x)
(aici semnul ≡ desemnează faptul că cele două prop. au aceeşi valoare de adevăr)



 3. TEOREMA CONTRARĂ

1.Structura unei teoreme. O clasă foarte largă de propoziţii adevărate o constituie teoremele din matematică. Exemple : 1) În orice triunghi, suma unghiurilor sale este egală cu 180o 2)În orice triunghi, lungimea oricărei laturi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două şi mai mare ca diferenţa lor 3) În orice triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. Fiecare teoremă stabileşte că un obiect matematic sau un ansamblu de obiecte matematice posedă o anumită proprietate. Cum se obţin teormele? Studiind matematica elementară se poate constata că toate teoremele ei se deduc prin demonstraţii, adică printr-un şir de raţionamente logice, sau cum se mai spune, prin silogisme, din câteva propoziţii fundamentale numite axiome, care se acceptă a fi adevărate fără demonstraţie.
Aproape orice teoremă se poate enunţa sub forma ,,dacă…, atunci…’’. Partea întâi, care începe cu cuvântul dacă se numeşte ipoteza teoremei, partea a doua, cea care începe cu cuvântul atunci se numeşte concluzia teoremei.