6. MULŢIMEA NUMERELOR COMPLEXE “ℂ”

ℂ =ℝ x ℝ ={(x, y) | x, yÎℝ}= {z | z=x+iy, x,yÎℝ} – mulţimea numerelor complexe;

Ø z=(x, y) – număr complex;
Ø (x, 0)=x;
Ø (0, 0)=0;
Ø (1, 0)=1;
Ø (0, 1)=i unitate imaginară;
Ø (x, y)=(x, 0)+(0, y)= (x, 0)+(y, 0)(0, 1);
Ø z1+z2=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) adunarea;
Ø z1z2=(x1, y1)(x2, y2)=(x1x2-y1y2, x1y2+x2y1) înmulţirea.

Proprietăţi:

Ø (z1+z2)+z3=z2+(z1+z3), "z1,z2,z3Îℂ asociativitatea adunării;
Ø (z1z2)z3=z2(z1z3), " z1,z2,z3Îℂ asociativitatea înmulţirii;
Ø z1+z2=z2+z1, " z1,z2Îℂ comutativitatea adunării;
Ø z1z2=z2z1, " z1,z2Îℂ comutativitatea înmulţirii;
Ø z+0=0+z=z, " zÎℂ, 0 element neutru pentru adunare;
Ø z1=1z=z, " zÎℂ, 1 element neutru pentru înmulţire;
Ø z+(-z)=(-z)+z=0, " zÎℂ, (-z) element opus pentru z;
Ø zz-1=z-1z=1, " zÎℂ*, z-1 element invers pentru z;
Ø z1(z2+z3)=z1z2+z1z3, " z1,z2,z3Îℂ distributivitatea înmulţirii faţă de adunare;
Ø (z1+z2)z3=z1z3+z2z3, " z1,z2,z3Îℂ distributivitatea înmulţirii faţă de adunare.

Forma algebrică a numărului complex: z=x+iy

Ø Re(z)= x partea reală;
Ø Im(z)=y coeficientul părţii imaginare;
Ø iy parte imaginară;
Ø i unitate imaginară;
Ø i2=-1;
Ø z1+z2=(x1+i y1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2) adunarea;
Ø z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1) înmulţirea.