Metodã de generare a resturilor unor împãrtiri succesive
Fie x si b douã numere naturale, cu b ³ 2. Notãm prin [a] partea întreagã a unui numãr real a, adicã cel mai mare întreg mai mic sau egal cu a.
Propozitia 1: Restul împãrtirii lui x la b este x - b[x/b].
Demonstratie: Vom folosi proprietatea cunoscutã a pãrtii întregi a unui numãr real, si anume:
" aÎ R, a-1 < [a] £ a.
Conform acestei proprietãti avem, pentru a = x/b,
x/b-1 < [x/b] £ x/b
si, înmultind aceastã dublã inegalitate cu b, gãsim
x-b < b[x/b] £ x
de unde rezultã imediat cã
0 £ x - b[x/b] < b.
Conform teoremei împãrtirii cu rest, existã în mod unic douã numere c (cât) si r (rest), luând în cazul nostru:
c = [x/b] si r = x-b[x/b]
Câtul si restul astfel alese verificã conditia de existentã