Criteriul de divizibilitate cu 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
Priviţi numerele de mai sus. Acest şir de numere este o parte din şirul numerilor naturale. Numerele de culoarea neagră sunt divizibile cu 2, iar celelalte numere nu sînt divizibile cu 2. Haideţi să analizăm cîteva numere:
12 se divide cu 2, deoarece 12=2*6
34 se divide cu 2, deoarece 34=2*17
85 nu se divide cu 2, deoarece 85=2*42+1
53 nu se divide cu 2, deoarece 53=2*26+1
Observăm:
٭ 20,52,564,3596,268 şi alte numere care sînt multipli ai lui 2 au ultima cifră 0 sau 2, sau 4, sau 6, sau 8 (cifrele 0,2,4,6,8 sînt numere pare)
٭ 11,23,2265,20007,3169 şi alte numere care nu sînt multipli ai lui 2 nu au ultima cifră nici 0, nici 2, nici 4, nici 6, nici 8.
٭ Sînt divizibile cu 2 numai numerele care au ultima cifră pară!!!
Generalizăn:
***Dacă ultima cifră a unui număr natural este pară, atunci numărul de divide cu 2.
***Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este pară, atunci numărul nu se divide cu 2.
Observăm:
٭ Numerele divizibile cu 2 sînt numere pare şi sînt de forma 2*n, unde
n € N. De exemplu, 18=2*9, 124=2*62.
٭ Numerele care nu sînt divizibile cu 2 sînt numere impare şi sînt de forma 2*n+1, unde n € N. De exemplu, 23=11*2+1, 2001=2*1000+1.
Exerciţii:
1) Împărţind un număr natural la 2, se obţine restul 1. Care poate fi ultima cifră a acestui număr?
Rezolvare:
Ne reamintim de forma numerelor impare nedevizibile cu 2. Ea este 2*n+1. Aceste cifre pot fi mau multe: 1,3,5,7,9.
Răspuns:
Ultimile cifre la acest număr pot fi mai multe. Ele sînt: 1,3,5,7,9.






Criteriul de divizibilitae cu 3
La o competiţie sportivă participă 468 de fete şi 625 de băieţi. Pot fi repartizate fetele în mod egal pe 3 coloane? Dar băieţii?
Rezolvare:
468:3=156; 3468 625:3=208 (rest 1); 3 625
Fetele, da! Băieţii, nu!
Dar de ce?
Observăm:
12 1+2=3
720 7+2+0=9
891 8+9+1=18
Numerele 12,720,891 precum şi alţi multipli ai lui 3, au suma cifrelor divizibilă cu 3.
26 2+6=8
2681 2+6+8+1=17
15788 1+5+7+8+8=29
Numerele 26,2681,15788 precum şi alte numere care nu sînt multipli ai lui 3, nu au suma cifrelor divizibile cu 3.
Generalizăm:
***Dacă suma cifrelor unui număr natural de divide cu 3, atunci numărul se divide cu 3.
***Dacă suma cifrelor unui număr natural nu se divide cu 3, atunci numărul nu se divide cu 3.
Vreti sa stiti mai mult?
Fie numărul ab. Ţinem cont că ab=10a+b=9a+(a+b) şi, deoarece 3 9a, rezultă că 3 ab dacă şi numai dacă 3 (a+b)
Exemple:
Numărul 66351 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, 6+6+3+5+1=21, este multiplu al lui 3.
Numărul 5165218 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, 5+1+6+5+2+1+8=28, nu este un multiplu al lui 3.
Exerciţii:
1) Aflaţi x, astfel încît numărul: a) 87x4 b) 569x c)x588 să fie divizibil cu 3.
Rezolvare:
a) 87x4 deci X={2,5,8}
b) 569x deci X={1,4,7}
c) x588 deci X={3,6,9} {0 nu poate fi deoarece nu există nici un număr care să se inceapă cu 0!}



Criteriul de divizibilitate cu 4
Într-un coş sînt 24 mere şi în al 31 mere. Maria, Sandu, Ion si Vicu vor să împarte merele din primul şi al doilea coş în patru părţi egale.E posibil?
Rezolvare:
1) 24:4=6;4 24
Merele din primul coş se pot împărţi în 4 părţi egale.
2) 31:4=7 (3 rest) 4| 31
Merele din al doilea coş nu se pot împărţi în 4 părţi egale.
Observam:
1524 24:4=6
25488 88:4=22
Numerele 1524, 25488 precum şi alţi multipli ai lui 4, se împart la 4 deoarece ultimele 2 cifre se împart la 4.
1542 42:4=10 (2 rest)
523 23:4=5 (3 rest)
Numerele 1542, 523 precum şi alte numere care nu sînt multipli ai lui 4, nu se împart la 4 deoarece ultimele 2 cifre nu se împart la 4.
Generalizăm:
***Dacă numărul format din ultimele 2 cifre se împarte la 4, atunci tot numărul se împarte la 4.
***Dacă numărul format din ultimele 2 cifre care nu se împart la 4, atunci tot numărul nu se împarte la 4.
Exemple:
Numărul 524 se împarte la 4 deoarece ultimele 2 cifre se împart la 4:
24:4=6
524:4=131
Numărul 125 nu se împarte la 4 deoarece ultimele 2 cifre nu se împart la 4:
25:4=6 (1 rest)
125:4=31 (1 rest)
Exerciţiu:
Aflaţi x, astfel încît numărul: a) 52x4, b) x2x2 să fie divizibil cu 4.
Rezolvare:
a) 52x4, deci X={0,2,4,6,8}
b) x2x2, deci X={1,3,5,7,9}