• Definitia divizibilitatii:
Spunem ca numarul natural a se divide cu d,daca exista un nr.c, astfel incat a=dxc
Ex:30 se divide cu nr.5,pentru ca exista un nr.6,astfel incat
30=5x6.
d/a se citeste d divide a
d/a <=> exista c,astfel incat a=dxc,d si a sunt nr.nat.
a:d se citeste a este divizibil cu d
• Divizor si multiplu
Daca d/a,atunci d se numeste divizor al lui a si a se numeste multiplu al lui d.
Dn=multimea divizorilor lui n.
D6={1;2;3;6}
D15={1;3;5;15}
D12={1;2;3;4;6;12}
D30={1;2;3;5;6;10;15;30}
Multiplii lui 12:
M12={12;24;36;48;60;72;...}
• Proprietati ale divizibilitatii
1) 1/a, a este nr. nat.
2) a/a,a este nr.nat.
3)d/a => d/ab, a,b si d sunt nr.nat.
d/a =>exista nr.nat.c,a.stfel incat a=dc
ab=dcxb si cb este nr. nat.=> ab:d
4)d/a si d/b=>d/a+b
Demonstratie:
d/a<=> exista a' nr.nat.,a.i. a=dxa'
d/b<=> exista b' nr.nat.,a.i. b=dxb'
a+b=dxa'+dxb'=d(a'+b')
a'+b'=c=> a+b=dxc <=> d/a+b
Obs:la fel si pentru d/a si d/b =>d/a-b
• Divizori proprii si improprii
Orice nr.este diizibil prin 1 si prin el insusi.Nr.1 si nr. insusi se numesc divizori improprii.Ceilalti divizori ai nr. se numesc divizori proprii.
Ex:D6={1;2;3;6}
• Numere prime
Numim nr.prim orice nr.nat.mai mare decat 1,care are numai divizori improprii.Nr.prime sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31...
Obs.:Singurul nr.prim si par este 2.
Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori primi,adica il impartim la toate nr.prime cu care este divizibil.Daca este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci nr. este prim.
• Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 2
Un nr. este divizibil cu 2 daca ultima sa cifra este para.
Ex:nr.2345678 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 8 si este cifra para:
nr.2000 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 0 si este cifra para.
Nr. care sunt divizibile cu 2 se numesc nr.pare.

Criteriul de divizibilitate cu 5
Un nr. este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este 0 sau 5.

Criteriul de divizibilitate cu 4
Un nr.este divizibil cu 4,daca nr.format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4.

Criteriul de divizibilitate cu 8
Un nr.este divizibil cu 8,atunci cand nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8.

Criteriul de divizibilitate cu 25
Un nr.este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25,adica daca ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75.

Criteriul de divizibilitate cu 125
Un nr. este divizibil vu 125,daca nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125.

Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10
Un nr. este divizibil cu o putere a lui 10,daca ultimele sale n cifre sunt zerouri.

Criteriul de divizibilitate cu 3
Un nr.este divizibil cu 3,daca suma cifrelor sale este un nr.divizibil cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 9
Un nr.este divizibil cu 9,daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.

Criteriul de divizibilitate cu 6
Un nr. este divizibil cu 6,daca este divizibil cu 2 si cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 15
Un nr. este divizibil cu 15,daca este divizibil cu 5 si cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 11
Un nr. este divizibil cu 11,daca diferenta dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un nr. divizibil cu 11.
Ex.:1925