Matematicianul
Talentul său matematic se manifestă încă din timpul liceului, elevul Barbilian publică remarcabile contribuţii în revista Gazeta matematică. Tot în acest timp, Barbilian îşi dezvoltă şi pasiunea pentru poezie. Între anii 1914-1921 studiază matematica la Facultatea de Ştiinţe din Bucureşti, studiile fiindu-i întrerupte de perioada în care îşi satisface serviciul militar în timpul Primului Război Mondial.
Cariera matematică continuă cu susţinerea tezei de doctorat în 1929. Mai târziu participă la diferite conferinţe internaţionale de matematică. În 1942 este numit profesor titular de algebră la Facultatea de Ştiinţe din Bucureşti. Publică diferite articole în reviste matematice. De deosebită importanţă sunt două dintre contribuţiile lui: o scurtă lucrare de două pagini apărută în Casopis Matematiky a Fysiky (1934-1935), unde defineşte o procedură de metrizare care va fi numită de Leopold Blumenthal „spaţii Barbilian”, şi două lucrări în Jber. Deutsch. Math. Verein., apărute în 1940 şi respectiv în 1941, intitulate Zur Axiomatik der Projectiven ebenen Ringgeometrien, şi care au inspirat o direcţie de cercetare în geometria inelelor, direcţie asociată azi în literatura de specialitate cu numele său, al lui Hjelmslev şi al lui Klingenberg.
Teoria spaţiilor Barbilian a fost amplu dezvoltată în patru lucrări:
• Asupra unui principiu de metrizare, Stud.Cercet. Mat. 10 (1959), 68-116,
• Fundamentele metricilor abstracte ale lui Poincaré şi Carathéodory ca aplicaţie a unui principiu general de metrizare (lucrare prezentată la Institutul de matematică în data de 4 iunie 1959), apărut în Studii şi cercetări matematice, vol. 10 (1959), 273-306;
• J-metricile naturale finsleriene, apărută în aceeaşi revistă în vol. 11 (1960), 7-44;
• J-metricile naturale finsleriene şi funcţia de reprezentare a lui Riemann,lucrare scrisă împreună cu Nicolae Radu şi apărută postum, publicată tot în Studii şi cercetări matematice, vol. 12 (1962), 21-36.
Ultima lucrare a fost depusă la redacţie de Nicolae Radu pe 20 octombrie 1961; Barbilian se stinsese pe 11 august, în acelaşi an. Originalitatea ideii matematice a lui Barbilian constă în reexaminarea modelul Poincaré al geometriei neeuclidiene a lui Lobacevski. Acest model generează în mod natural o distanţă care poate fi reprezentată ca oscilaţie logaritmică. Contribuţia lui Dan Barbilian a fost de a analiza cât de generală e această procedură de a construi o distanţă şi de a stabili o teorie a spaţiilor metrice dotate cu această distanţă. În lucrarea din 1934, a definit o metrică în interiorul unei regiuni planare oarecare, generalizând astfel ideea modelului Poincaré, care este definit doar în interiorul discului unitate. Cu acea metrică, interiorul mulţimii devenea un model de geometrie neeuclidiană. Aceste rezultate au fost citate şi folosite de-a lungul anilor de mulţi matematicieni, între care (menţionaţi în ordinea cronologică a contribuţiilor) Leopold M. Blumenthal, P. J. Kelly, Wladimir G. Boskoff, Alan E. Beardon, F. W. Gehring, K. Hag, Peter A. Hasto, Zair Ibragimov, H. Linden, P. Sousa, S. Ponnusamy, S. A. Sahoo, M. G. Ciucă, Bogdan Suceavă.
Poetul
În anul 1919, Dan Barbillian începe colaborarea la revista literară Sburătorul, adoptând la sugestia lui Eugen Lovinescu, criticul cenaclului ca pseudonim numele bunicului său, Ion Barbu. În timpul liceului îl cunoaşte pe viitorul critic literar Tudor Vianu, de care va fi legat prin una din cele mai lungi şi mai frumoase prietenii literare.
Debutul său artistic a fost declanşat de un pariu cu Tudor Vianu. Plecaţi într-o excursie la Giurgiu în timpul liceului, Dan Barbilian îi promite lui Tudor Vianu că va scrie un caiet de poezii, argumentând că spiritul artistic se află în fiecare. Din acest "pariu", Dan Barbilian îşi descoperă talentul şi iubirea faţă de poezie. Dan Barbilian spunea că poezia şi geometria sunt complementare în viaţa sa : acolo unde geometria devine rigidă, poezia îi oferă orizont spre cunoaştere şi imaginaţie. Criticul şi prietenul său Tudor Vianu îi consacră o monografie, considerată a fi cea mai completă până în ziua de azi. Una din cele mai cunoscute poezii a autorului, După melci, apare în 1921 în revista Viaţa Românească. Tot în acest an pleacă la Göttingen (Germania) pentru a-şi continua studiile. După trei ani, în care a făcut multe călătorii prin Germania, ducând o viaţă boemă, se întoarce în ţară.
Opera joc secund
Printre poeziile care ilustreaza „fetele" eului pot fi amintite: Din ceas dedus... si Dioptrie. in aceste texte, eului poetic ii revine responsabilitatea de a inlatura valul care acopera adevaratul chip al lumii, pe care-1 eternizeaza, transsubstantiat, in vers. Dezvaluirea ar putea echivala cu o intoarcere la starea primordiala a poeziei si la cea pura, sacra, a lumii.

Textul care deschide volumul, preluandu-i si titlul, Joc secund, reprezinta un prim pas in procesul de initiere in tainele creatiei poetice. Titlul, sugestiv, pune in evidenta ideea centrala si crezul poetic: poezia reprezinta o dematerializare a lumii prin oglindire, o reprezentare purificata a lumii, creatia devenind „un joc secund, mai pur". Lumea vazuta ca o copie a „lumii perfecte" este salvata prin spatiul poeziei, spatiul jocului secund, atemporal „din ceas dedus", aspatial, teritoriu imaginat al experientelor spirituale pure. Poezia porneste de la viata, dar nu se confunda cu aceasta; ea se inalta pe „inecarea" universului real printr-un joc al oglindirii, devenind un sublimat, o copie geometrizata a lumii.